تابع المتسلسلات الهندسية الغير منتهية

يمكن استعمال رمز المجموع لكتابة المتسلسلات الهندسية غير منتهية, وهي التي تستمر حدودها إلى مالانهاية ؛أي أنها تستمر دون توقف, ويستعمل الرمز∞فوق رمز المجموع للدلالة على ذلك.

رمز المجموع والمتسلسلة اللانهائية:

أوجدي قيمة ∑_(k=1)^∞▒〖18(4/5〗)k-1
s=a1/(1-r)

=18/(1-4/5)

=18/(1/5)=90

تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر اعتيادي:
اكتب0.36

0.36+0.0036+….=63/100+63/10000

s=a1/(1-r)

=(63/100)/(1-1/100)

=7/11

المتسلسلات الهندسية الغير منتهية

المتسلسلة الهندسية غير المنتهية: هي التي لها عدد لانهائي من الحدود ‘ والمتسلسلة التي لها مجموع تكون متقاربة؛لأن مجموعها يقترب من عدد حقيقي ،أما إذا لم يكن للمتسلسة مجموع ،فإنها تسمى متسلسلة متباعدة.
المتسلسلات الهندسية المتقاربة والمتسلسلات المتباعدة: المتسلسلات المتقاربة : يقترب المجموع من عدد حقيقي . إذا كانت النسبة المشتركة(الأساس): 1 › r ›-1 , r
المتسلسلات المتباعدة:لايقترب المجموع من عدد حقيقي .إذا كانت النسبة المشتركة(الأساس)        
حدد أي المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين متقاربة , وأيهما متباعدة؟
1)54+36+24+….
أوجد قيمة r r=36÷54= 2/3
وبما أن -1<0.66<1 فإن المتسلسلة متقاربة.

2) 8+12+18+…
R=12÷8=1.5
وبما أن 1.5>1, فغن المتسلسلة متباعدة.

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية:
مجموع حدود المتسلسلة الهندسية اللانهائية يرمز له بالرمز S حيث قيمة المطلقة r>1
ويعطى بالصيغة S=a1/(1-r)

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية:
أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلة الهندسية الآتيه:
6+9=13.5+20.25+…
r=9÷6=1.5

وبما أن 1.5>1 فإن المتسلسة متباعدة وليس لها مجموع.
4-2+1-0.5+….
r=-2÷4=-0.5

وبما أن-0.5<1 فإن للمتسلسة مجموع:
(s=a1/(1-r
(s=4/(1-(-0.5
=2.66                               

تابع المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

يمكن الحصول على المتسلسلة الهندسية بوضع إشارة الجمع(+) بين الحدود المتتابعة الهندسية. ويرمز لمجموع أول n حدا في المتسلسلة بالرمزSn.ويمكن إيجاده باستعمال أي من الصيغتين الآتيتين:        

الصيغة العامة Sn=(a1-a1 r^n)/(1-r)

الصيغة البديلة  Sn=(a1-an r)/(1-r)

أوجد مجموع كل من المتسلسلة الهندسية؟

a1=2,n=10,r=3

Sn=(a1-a1 r^n)/(1-r)

Sn=(2-2(〖3)〗^10)/(1-3)

Sn=59048

المجموع باستعمال رمزالمجموع

∑_(k=3)^10▒〖4(〖2)〗^(k-1) 〗

n=10-3+1=8

a1=4.2^(3-1)=16

r=2

Sn=(a1-a1 r^n)/(1-r)

S8=(16-16 (〖2)〗^8)/(1-2)

=4080

إيجاد الحد الأول في المتسلسة الهندسية:

أوجد a1في المتسلسة الهندسية التي فيها r=-3,n=8,Sn=-26240

Sn=(a1-a1 r^n)/(1-r)

13116=(a1-a1 〖(3)〗^7)/(1-3)

13116= (a1(1-3^7))/(1-3)

13116=(-2186a1)/(-2)

13116=1093a1

a1=12

المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

الحد النوني في المتتابعة الهندسية
يعطى الحد النوني في المتتابعة الهندسية التي حدها الأول a1
وأساسها rبالصيغة الآتية:
(an=a1r^(n-1
حيث n عدد طبيعي
إيجاد صيغة الحد النوني
اكتب معادلة الحد النوني لكل من المتابعة الهندسية؟
0.5,2,8,32,….
الحد الأول 0.5,والأساس r يستخرج كما يأتي:r=8/2
(an=a1r^(n-1
(an=0.5〖(4)〗^(n-1
وكما في الأوساط الحسابية,فإن الأوساط الهندسية هي الحدود الواقعة بين حدين غير متتالين في متتابعة هندسية,
ويمكن استعمال أساس المتتابعة الهندسية لإيجاد الأوساط الهندسية.

أوجد ثلاثة أوساط هندسية بين العددين 2,1250
1)بما أنه يوجد ثلاثة أوساط هندسية بين الحد الأول والحد الأخير, فإن عدد حدود المتتابعة 3+2=5, ولذلك يكون n=5
2)أ وجد قيمة r
(an=a1r^(n-1
1250=(2r^(5-1
±5=r
3) استعمل rلإيجاد الأوساط الهندسية الثلاثة:
إذن الأوساط الهندسية هي:10,50,250أو -10,50,-250

تابع المتتابعات والمتسلسلات الحسابية

أوجدي خمس أوساط حسابية بين العددين-18,36؟

A1=-18        

36=a7

D=?

An=a1+(n-1)d

A7=a1+(7-1)d

36=-18+6d

36+18=6d

54=6d

D=9

الأوساط الحسابية المطلوبة :-18,-9,0,9,18,27,36

 

مجموع الجزئي في متسلسلة الحسابية

الصيغة العامة:Sn=n((a1+an)/2)

الصيغة البديلة:Sn=n/2(2a1+(n-1)d)

استعمال صيغ المجموع:

أوجدي مجموع كل متسلسلة حسابية مما ياتي؟

100+…+6+4+2

A1=2, n=??, a5=100,d=2

an=a1+(n-1)d

A5=a1+(n-1)d

100=2+(n-1)2

100=2+2n-2

100/2=2n/2

50=n

Sn=n((a1+an)/2)

Sn=50((2+100)/2)

Sn=2550

يمكنك التعبير عن المتسلسلة بصورة مختصرة باستعمال رمز المجموع

تابع المتتابعات والمتسلسلات الحسابية

إيجاد الحدود الثلاثة الأولى
إيجاد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة الحسابية فيه a1=7,an=79,Sn=430
1)أوجد قيمةn
(Sn=n((a1+an)/2
430=(n((7+79)/2
430=(n(43
10=n
أوجد قيمةd
an=a1+(n-1)d
97=7+(10-1)d
72=9d
8=d
استعملd لحساب كل من a3,a2
A3=15+8=23, a2=7+8=15
إذن الحدود الثلاثة الأولى هي:23,15,7

أوجد ∑_(k=4)^18▒〖(6k-1)〗
n=18-4+1=15
a1=6(4)-1=23
an=6(18)-1=107
Sn=n((a1+an)/2)
S15=15((23+107)/2)
S15=15(65)=975

 

 

أوجدي خمس أوساط حسابية بين العددين-18,36؟

A1=-18         a7=36       ,     d=??        

An=a1+(n-1)d

A7=a1+(7-1)d

36=-18+6d

36+18=6d

6d=54

الأوساط الحسابية المطلوبة :-18,-9,0,9,18,27,36

مجموع الجزئي في متسلسلة الحسابية

الصيغة العامة:Sn=n((a1+an)/2)

الصيغة البديلة:Sn=n/2(2a1+(n-1)d)

استعمال صيغ المجموع:

أوجدي مجموع كل متسلسلة حسابية مما ياتي؟

100+…+6+4+2

A1=2, n=??, a5=100,d=2

an=a1+(n-1)d

A5=a1+(n-1)d

100=2+(n-1)2

100=2+2n-2

100/2=2n/2

50=n

Sn=n((a1+an)/2)

Sn=50((2+100)/2)

Sn=2550

يمكنك التعبير عن المتسلسلة بصورة مختصرة باستعمال رمز المجموع